미분은 잘게 쪼개고, 적분은 그것들을 쌓는다... 라는 의미로 학생들에게 쉽게 이해시키는 경우가 많습니다.
따라서 부피는 '단면의 넓이 S(x)=Pi f(x)² 을 쌓는다.' 라는 의미에서 V = Integral S(x) dx = Pi Integral f(x)² dx 와 같이 이해하기도 합니다.
이러한 관점에서 볼 때, 겉넓이는 '단면의 둘레의 길이 L(x)=2Pi f(x) 를 쌓는다.' 라고 할 수 있으며, S= Integral L(x) dx = 2Pi Integral f(x) dx 라고 생각할 수 있습니다. 하지만, 실제 겉넓이는 S= 2Pi Integral f(x) Sqrt[1+f '(x)²] dx 로 계산되어집니다. 그것은 함수 f(x)=x에 대하여 [0,1]까지 회전체(반지름과 높이가 1인 원뿔)로 확인해 봅니다.
그렇다면, '왜? 원기둥에 의한 방법으로는 안될까요?' 라는 것이 어느날 받은 학생의 질문이었습니다. 분명 '직관으로는 될듯한데...' 라면서요.
이에 대한 이유를 찾아볼 수 있도록, 제작한 것이 위의 실험입니다. 함수 f(x)가 1, 1+0.1x, 1+0.2x, ..., 1+0.9x, 1+x 또는 Sqrt[1], Sqrt[1+0.1x], Sqrt[1+0.2x], ..., Sqrt[1+0.9x], Sqrt[1+x] 와 같이 상수함수에서 기울기를 조금씩 증가시켜 가면서 원기둥방법과 원뿔대방법에 대한 겉넓이 부분합과 실제 넓이와의 오차의 폭을 비교해 보도록 하세요.
