본 패러독스는 Schwarz's Polyhedron 혹은 Schwarz's Cylinder 문제로 알려져 있습니다.
(다중 극한 문제로 고등학교 수준에서는 수열의 극한, 구분구적법, 공간도형의 성질 등을 학습하면 이해할 수는 있으나, 꽤나 어려운 수준의 문제입니다.)
반지름이 r, 높이가 h 인 원기둥에 대하여, 윗면의 원주를 n 등분하고, 높이를 m 등분 한다.
이와 같이 분할되어진 삼각형 넓이의 부분합 S(m,n) 은 m→∞ 또는 n→∞ 일 때, 원기둥의 겉넓이 S = 2 Pi r h 로 수렴하는가?
생각1. n→∞ 일 때(m을 고정), S(m,n)은 S로 수렴하는가?
생각2. m→∞ 일 때(n을 고정), S(m,n)은 S로 수렴하는가?
생각3. 동시에 m→∞ 이고 n→∞ 이면, S(m,n)은 S로 수렴하는가? (수렴한다면 어떤 경우에 어느 값으로 수렴하고, 발산한다면 어떤 경우에 발산하는가?)
(Hint : m→∞, n→∞에 대하여, m→∞을 먼저 적용한 경우, n→∞을 먼저 적용한 경우, 그리고 m→∞과 n→∞을 동시에 적용한 경우에 대하여 생각해보자.)
실험1. n을 최대로 키워보세요. (단, m은 적당히 작은 값으로 고정) S(m,n)은 실제넓이 S로 수렴합니까?
실험2. m을 최대로 키워보세요. (단, n은 적당히 작은 값으로 고정) S(m,n)은 실제넓이 S로 수렴합니까?
실험3. m, n을 동시에 최대로 키워보세요. S(m,n)은 실제넓이 S로 수렴합니까?
(Hint : m, n의 증가속도를 달리해서 비교해보세요. 예 : m=k & n=k, m=2k² & n=k, m=k & n=2k² 등 차수를 달리해서 적용해봅니다.)
증명. 위의 세 가지 경우에 대하여 극한값을 계산하여 확인해 봅니다. (본 패러독스의 해설은 추후에 풀이과정을 올리도록 하겠습니다.)
이장훈(16-01-21 10:23)
Updated Wolfram CDF Player 10.3.
이장훈(17-05-25 14:18)
Updated by Wolfram Mathematica 11.1 & Optimized Wolfram CDF Player 11.1.
