로지스틱 맵(Logistic Map)은 비선형역학(Nonlinear Dynamics)의 가장 간단하면서도 중요한 예제입니다.
점화식 x[n+1] = r x[n] ( 1 - x[n] ) 으로 정의되는 이식은 원래 나방의 개체의 수가 매년 불규칙하게 변화하는 것을 설명하기 위해,
수학자 메이(Robert M.May)가 제안한 모델입니다. 어느해의 나방의 개체수를 x[n] 이라 하면, 다음해의 나방의 개체수는 x[n+1] 입니다.
그런데 다음해 나방의 개체수 x[n+1] 는 그 해의 나방수 x[n] 이 많아지면 번식률도 높아지므로 증가하기도 하지만 먹이는 부족하게 되어 감소하게 됩니다.
이를 방정식으로 나타낸 것이 바로 x[n+1] = r x[n] ( 1- x[n] ) 입니다. 여기서 r 은 다음해의 개체수에 미치는 영향을 조절하는 결합상수(parameter)입니다.
로지스틱 방정식은 파라미터 r 값에 따라, 매우 다양한 극한의 형태를 보입니다.
대략적으로 살펴볼 때 r<3 이면 수렴하지만, r>3 부터는 조금씩 이상한 현상을 보이기 시작합니다.
3<r<3.4 근방에서는 주기가 2인 형태를 보이더니, 3.4<r<3.53 근방에서는 주기가 4, 그 이후로는 점점 근방의 구간이 폭발적으로 짧아지면서 주기는 8, 16, ... 등과 같이 주기성을 관찰할 수 없을 정도의 혼돈(Chaos) 영역을 보입니다. 하지만 x0=0.234에 대하여 r=3.820~3.860사이를 0.001 간격으로 변화해면 주기는 혼돈에서 다시 일정한 반복, 다시 혼돈과 주기성이 민감하게 반복하는 카오스틱(Chaostic, 파라미터 r 의 작은 변화에 대한 민감성)한 양상을 보이곤 합니다.
우리는 이와같은 파라미터 r 을 기이한(?) 끌개(strange attractor)라고 부릅니다.
여러분들은 파라미터 r 을 혼돈영역의 구간에서 조밀하게 변화시켜 가면서 카오스틱(Chaostic)한 현상을 관찰해 보시기 바랍니다.
참고로 위 그래프에서 표현한 작도의 J 구간은 함수 f[x] = r x ( 1 - x ) 에 대하여, J₁= ( 0, r/4 ), J₂= ( r/4, 1 ), J₃= ( 0, f[r/4] ), J₄= ( f[r/4], r/4 ) 입니다.
이장훈(16-01-20 10:40)
Updated Wolfram CDF Player 10.3.
이장훈(17-05-25 13:16)
Updated Wolfram Mathematica 11.1 & Wolfram CDF Player 11.1.
