<수학실험실> 게시글 107번의 만델브로집합(ver1.0)의 단점인 계산속도와 확대기능(Zoom)의 불편함을 해소한 Upgrade 2.0 Version 입니다. 직사각형 모양의 Zoom Box를 확대하고자 하는 위치에 놓고, 확대(x4.00) 버튼을 누르면 4배씩 확대된 만델브로집합을 볼 수 있으며, 계산속도 역시 Complie 처리를 하여 훨씬 빨라졌습니다. 컴퓨터의 발명으로, 우리는 만델브로 집합과 같은 경이로운 프렉탈의 모습들을 들여다 볼 수 있게 되었습니다.
이장훈(13-06-11 07:16)
만델브로집합(ver2.0)의 추가기능으로 Mandelbrot Set Iteration Calculator를 업데이트 하였습니다. 이 계산기는 복소수 c=a+bi 에 대하여 z[n+1]=z[n]^2+c 를 반복계산하여 복소수 c 가 만델브로집합의 원소인지의 여부를 판별할 수 있습니다. 예를들어, c=0.2+0.5i 는 200번의 반복계산을 하여도 |Z| 가 발산하지 않으므로 만델브로 집합의 원소입니다. 이제, 여러분들은... 만델브로 집합을 크게 확대하여 경계선 근처의 복소수 c 값에 미세한 변화를 주며 설정해 봅니다. 예를들어, c=-0.16+1.03i 와 c=-0.16+1.02i 는 허수부의 차이가 불과 0.01 차이의 미세한 초기값의 변화이지만, 30번만 반복하여도 그 변화의 추이는 전혀다른 결과를 가져옵니다. c=-0.16+1.03i 는 여전히 발산하지 않는 반면, c=-0.16+1.02i 는 (발산으로 밖에 볼 수 없는) 기하학적인 증가의 형태를 나타냅니다. 자기닮음의 유사성을 가진 프렉탈(Fractal)에서 아주 작은 미세한 차이로 인하여 전혀 다른 결과를 초래하는 카오스(Chaos) 현상을 볼 수 있는 것입니다. 그것은 컴퓨터가 없었다면 전혀 계산해 낼 수 없으며, 예측할 수도 없었을 것입니다. Chaos 와 Fractal 은 이처럼, 컴퓨터의 발달로 인하여 활발히 연구된 현대과학의 새로운 영역입니다.
이장훈(13-06-13 07:39)
만델브로 집합의 그래프 설명 : 복소수 c에 대하여, 점화식 z=0, z(n+1)=z(n)^2+c의 계산을 |z(n)|<2를 만족하는 동안은 정밀도의 값(n=128번)만큼 반복 계산합니다. 만약, n=128번을 반복계산하였어도 |z(n)|<2이면, 복소수 c에 대한 z(n)은 발산하지 않는 것으로 판정하며, 이때 점 c는 복소평면상에 검정색의 점으로 나타냅니다. 바로 검정색 영역이 만델브로 집합의 영역입니다. 그러나 n=128번까지 시행되기 전, 예를 들어 n=50번의 반복계산의 결과가 |Z(n)|>2이면 이후는 발산의 형태를 보이므로 이때 점 c는 만델브로집합의 원소가 아닙니다. 이 경우, 몇 번 만에 |z(n)|>2의 형태로 되었는가(=발산의 속도)의 반복횟수에 따라 적당한 RGBColor[red,green,blue]의 red, green, blue의 색상을 설정해 놓았습니다. 따라서 검정색은 만델브로집합의 영역이고, 그 이외의 색상영역은 만델브로집합의 영역이 아닙니다. 또한, 만델브로집합의 외부영역은 발산의 속도에 따라 RGBColor로 일정한 패턴을 주어 나타낸 것입니다.
이장훈(16-01-30 17:23)
Created by Wolfram Mathematica 13.3. Optimized Wolfram Cloud & CDF Player 13.3.
이장훈(23-11-06 16:08)
위의 실험화면은 CDF 형식으로 만들어진 실험문서를 PC는 물론 Mobile에서도 웹상에서 동작이 가능하도록 구현한 Mathematica Cloud 기술입니다.
만델브로 집합은 상당한 계산량과 그래픽 해상도가 필요한 처리과정으로 Cloud 문서의 Zoom BOX의 이동과 확대 출력에 대한 처리시간이 많이 필요합니다.
따라서 모바일로 조작할 경우, 손으로 Zoom BOX 위치를 터치하고 확대 버튼을 누른 후 약 1~2분 정도의 여유를 가지고 기다리면 환상적인 그래픽 출력 결과를 얻을 수 있습니다. 단, PC에서 CDF 문서로 실행할 경우 처리속도는 월등히 빨라집니다!
